Monthly Archives: Juli 2021

KOMPETENSI DASAR

3.3. Mendeskripsikan dan menyatakan relasi dan fungsi dengan menggunakan berbagai

representasi (kata-kata, tabel, grafik, diagram, dan persamaan).

4.3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan relasi dan fungsi dengan

menggunakan berbagai representasi.

BAB 3

RELASI DAN FUNGSI

Memahami Relasi

Perhatikan bagan silsilah keluarga berikut

Gambar 3.1 Bagian Silsilah Keluarga

Gambar 3.1 menunjukkan silsilah keluarga Bapak Madhuri dan Ibu Marhawi. Tanda panah menunjukkan hubungan “mempunyai anak”. Empat anak Pak Madhuri dan Bu Marhawi adalah Sulastri, Idris, Halim, dan Tohir.

Jika anak-anak Pak Madhuri dan Bu Marhawi dikelompokkan menjadi satu dalam himpunan A, maka anggota himpunan A adalah Sulastri, Idris, Halim, dan Tohir.

A = {Sulastri, Idris, Halim, Tohir}

Sedangkan cucu-cucu dari Pak Madhuri dan Bu Marhawi dapat dikelompokkan dalam himpunan B, maka anggota himpunan B adalah Wafi, Faisal, Alu’, Risqi’, Alvin, Najwa, dan Suci.

B = {Wafi, Faisal, Alu’, Risqi, Alvin, Najwa, Suci}

Hubungan anggota himpunan B ke anggota himpunan A memiliki hubungan keluarga (relasi) “anak dari”. Sedangkan hubungan anggota himpunan B dengan Pak Madhuri dan Bu Marhawi memiliki relasi “cucu dari”.

Kedua bentuk hubungan yang telah diuraikan, merupakan salah satu bentuk hubungan yang dapat dibuat. Coba sekarang kalian temukan bentuk-bentuk hubungan yang mungkin dari silsilah keluarga dari Gambar 3.1.

Untuk mengetahui hubungan atau relasi antara dua himpunan, perhatikan video berikut

Setelah melihat video silahkan kerjakan soal Latihan soal berikut

1. Buatlah diagram Kartesius dari relasi “satu lebihnya dari” himpunan

{2, 3, 5, 9, 12} ke himpunan {1, 4, 7, 10, 13}.

2. Diketahui A = {2, 6, 8, 9, 15, 17, 21} dan B = {3, 4, 5, 7}. Nyatakanlah hubungan dari himpunan A ke himpunan B sebagai relasi kelipatan dari dengan menggunakan diagram panah.

Kegiatan 3.2

Memahami Ciri-ciri Fungsi

Fungsi merupakan salah satu konsep penting dalam matematika. Dengan mengenali fungsi atau hubungan fungsional antar unsur-unsur matematika, kita bisa lebih mudah memahami suatu permasalahan, dan menyelesaikannya. Oleh karena itu, memahami fungsi merupakan hal yang sangat diharapkan dalam belajar matematika.

Pertama kali, mari kita pelajari ciri-ciri dari suatu fungsi. Perhatikan aturan membuat sandi sebagai berikut.

Aturan 1:

Aturan 2:

Aturan 3:

Aturan 4:

Perhatikan pula kata-kata berikut.

1. Selidiki
2. Siapa
3. Sebenarnya
4. Udin

Dengan menggunakan aturan-aturan di atas, setiap kata tersebut akan berubah menjadi sandi. Supaya kalian tidak hanya membayangkan, coba lengkapi tabel berikut (boleh ditulis di kertas kerja terpisah), dan coba amati sandi yang mungkin dihasilkan.

Tabel 3.4 Daftar kata sandi

Perhatikan dengan saksama apakah kata sandi setiap kata bersifat tunggal? Maksudnya: “Apakah setiap kata disandikan hanya dengan satu ‘sandi’ saja?

Kalau kalian mengerjakan dengan sungguh-sungguh, beberapa sandi yang mungkin dihasilkan dapat dilihat pada tabel berikut.

Coba lengkapi tabel di atas.

Masalah 3.4

Aturan yang menghubungkan himpunan {A, B, C, …, Z} ke himpunan

{a, b, c, …, z} merupakan fungsi dari himpunan {A, B, C, …, Z} ke himpunan

{a, b, c, …, z}. Demikian pula dengan aturan yang menghubungkan himpunan{A, B, C, …, Z} ke himpunan {a, b, c, d}; dan aturan yang menghubungkan himpunan {A, B, C, …, Z} ke himpunan {0, 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8, 9}.

Akan tetapi, sebaliknya, aturan yang menghubungkan himpunan{a, b, c, d} ke himpunan {A, B, C, …, Z} adalah bukan fungsi dari himpunan {a, b, c, d} ke himpunan {A, B, C, …, Z}. Aturan yang menghubungkan himpunan {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ke himpunan {A, B, C, …, Z} juga bukan merupakan fungsi.

Sebagai generasi muda yang kritis dan kreatif, tentu kalian harus mempertanyakan. Sebagai contoh, kalian bisa mengajukan pertanyaan:

1. Agar suatu aturan bisa disebut fungsi dari himpunan A ke himpunan B, apa saja syarat yang harus dipenuhi?
2. Jika suatu aturan merupakan fungsi dari himpunan A kepada himpunan B, apakah kebalikannya juga merupakan fungsi dari himpunan B ke himpunan A?

Sekarang, coba buat minimal tiga pertanyaan lagi tentang fungsi. Upayakan pertanyaan kalian memuat sedikitnya kata-kata:“semua anggota himpunan A”, “semua anggota himpunan B”, dan/atau “fungsi dari himpunan A ke himpunan B”.

Alternatif Pemecahan Masalah

Ayo Kita Amati

Aturan 1 sampai dengan aturan 4 pada Kegiatan 3.2 adalah relasi. Akan tetapi, aturan-aturan penyandian tersebut bukan hanya sekadar relasi. Aturan itu lebih tepat disebut sebagai fungsi dari himpunan {A, B, C, D, …, Z} ke himpunan {a, b, c, d,…, z}, atau dari himpunan {A, B, C, D,…, Z} ke himpunan {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, atau dari himpunan {A, B, C, D,…, Z} ke himpunan {a, b, c, d}.

Untuk memahami konsep fungsi, perhatikan dengan saksama kasus-kasus berikut.

Misalkan kita mempunyai dua himpunan, yaitu: A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {a, b}. Berikut beberapa relasi yang mungkin terjadi antara anggota- anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B (masih banyak yang tidak dituliskan di sini).

1. {(1, a)}

2. {(1, b)}

3. {(2, a)}

4. {(2, b)}

5. {(3, a)}

6. {(3, b)}

7. {(1, a), (2, b)}

8. {(1, a), (3, b)}

9. {(1, b), (2, a)}

10. {(1, b), (3, a)}

11. {(2, a), (3, b)}

12. {(2, b), (3, a)}

13. {(1, a), (2, a), (3, a)}

14. {(1, a), (2, a), (3, b)}

15. {(1, a), (2, b), (3, a)}

16. {(1, a), (2, b), (3, b)}

17. {(1, b), (2, b), (3, b)}

18. {(1, b), (2, b), (3, a)}

19. {(1, b), (2, a), (3, b)}

20. {(1, b), (2, a), (3, a)}

Dari 20 relasi di atas, yang bisa dikategorikan sebagai fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi nomor 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, dan 20. Jadi, hanya ada sebanyak 8 fungsi. Selebihnya, dari contoh di atas, tidak memenuhi syarat untuk dikatakan sebagai fungsi dari A ke B.

Untuk memahami ciri-ciri dari suatu fungsi, sebaiknya perhatikan uraian berikut. Himpunan pasangan berurutan yang bisa menjadi fungsi dari B = {a, b} ke A = {1, 2, 3} adalah:

{(a, 1), (b, 1)}

{(a, 1), (b, 2)}

{(a, 1), (b, 3)}

{(a, 2), (b, 1)}

{(a, 2), (b, 2)}

{(a, 2), (b, 3)}

{(a, 3), (b, 1)}

{(a, 3), (b, 2)}

{(a, 3), (b, 3)}

Dalam konteks fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka himpunan A disebut Daerah Asal atau Domain dan himpunan B disebut dengan Daerah Kawan atau Kodomain dari fungsi tersebut. Sedangkan himpunan bagian dari himpunan B yang semua anggotanya mendapat pasangan di anggota himpunan A disebut Daerah Hasil atau Range

Contoh 3.1

Kalau himpunan pasangan berurutan {(1, a), (2, a), (3, a)} merupakan fungsi dari {1, 2, 3} ke {a, b}, maka domain dan kodomain dari fungsi ini berturut- turut adalah {1, 2, 3} dan {a, b}.

Contoh 3.2

Kalau himpunan pasangan berurutan {(a, 3), (b, 1)} merupakan fungsi dari

{a, b} ke {1, 2, 3}, maka domain dan kodomain dari fungsi ini berturut-turut adalah {a, b} dan {1, 2, 3}.

Mungkin kalian bertanya, “lho…pada fungsi {(1, a), (2, a), (3, a)}, seperti pada Contoh 3.1, sama sekali tidak disebut huruf b. Mengapa kodomain nya tetap {a, b}? Mengapa tidak {a} saja?”.

Pertanyaan kalian ini penting.

Dalam konteks fungsi {(1, a), (2, a), (3, a)} dari {1, 2, 3} ke {a, b}, himpunan semua anggota kodomain yang menjadi pasangan dari anggota-anggota himpunan domain memiliki istilah tersendiri, yaitu daerah hasil atau Range.

Jika f = {(1, a), (2, b), (3, b)} adalah fungsi dari {1, 2, 3} ke himpunan {a, b}, maka f(1) = a.

Bentuk terakhir ini dibaca dengan “bayangan dari 1 oleh fungsi f adalah a” atau “nilai dari f(1) adalah a”.

Jika kita cari nilai dari setiap anggota domain, diperoleh f(1) = a, f(2) = b, dan

f(3) = b. Jika dikumpulkan semuanya ini, {f(1), f(2), f(3)} = {a,b}.

Himpunan semua nilai fungsi atau himpunan semua bayangan inilah yang disebut dengan daerah hasil atau Range.

Karena itu, pada konteks fungsi {(a, 3), (b, 1)} dari {a, b} ke {1, 2, 3}, domainnya adalah {a, b}, kodomainnya adalah {1, 2, 3}, dan rangenya adalah

{1, 3}

Contoh 3.3

Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 3, 5, 7}. Relasi yang didefinisikan

adalah “satu lebihnya dari”. Apakah relasi dari A ke B termasuk fungsi?

Alternatif Penyelesaian

Untuk mengetahui apakah relasi dari A ke B termasuk fungsi atau bukan, lakukan prosedur berikut.

Diketahui relasi dari A ke B adalah “satu lebihnya dari”, maka relasi ini bisa dituliskan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan: {(3, 2), (4, 3)}.

Coba kita perhatikan beberapa anggota A yang tidak bisa dipasangkan ke B. Beberapa anggota A yang tidak mempunyai pasangan di B adalah 1, 2, dan 5.

Hal ini karena tidak ada bilangan x di B demikian sehingga “1 itu satu lebihnya dari x di B”, “2 itu satu lebihnya dari x di B”, atau “5 itu satu lebihnya dari x di B”. Dengan demikian relasi ini bukan fungsi dari A ke B, karena ada anggota A yang tidak mempunyai pasangan di B.

Contoh 3.4

Misalkan A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}, B = {1, 5, 9}

Relasi yang didefinisikan adalah “anggota A dua kali anggota B”. Apakah relasi dari A ke B termasuk fungsi?

Alternatif Penyelesaian

Untuk mengetahui apakah relasi dari A ke B termasuk fungsi atau bukan, lakukan prosedur berikut.

Diketahui relasi dari A ke B adalah anggota A dua kali anggota B, Maka dapat dituliskan dalam bentuk pasangan berurutan sebagai berikut: {(2, 1), (10, 5)}.

Coba kita perhatikan kembali beberapa anggota A lainnya yang tidak mempunyai pasangan ke B, yakni:

Beberapa anggota A yang tidak mempunyai pasangan di B adalah 4, 6, 8, 12, 14, dan 16.

Hal ini karena tidak ada bilangan x di B demikian sehingga “4 dua kali anggota B”, “6 dua kali anggota B”, “8 dua kali anggota B”, “12 dua kali anggota B”, “14 dua kali anggota B”, dan “16 dua kali anggota B”.

Dengan demikian relasi ini juga bukan fungsi dari A ke B, karena ada beberapa anggota A yang tidak mempunyai pasangan di B.

Ayo Kita Menalar

Perhatikan contoh dan bukan contoh fungsi dan relasi dari himpunan

A = {1, 2, 3} ke himpunan B = {a, b} berikut.

Tabel 3.5 Contoh fungsi dan bukan fungsi

Coba kita pusatkan perhatian kita kepada dua hal berikut.

1. Apakah setiap anggota A dipasangkan dengan anggota di B?,
2. Berapa anggota B yang dihubungkan dengan satu anggota A?

3.3 Memahami Bentuk Penyajian Fungsi

Untuk menyajikan suatu fungsi caranya sama seperti menyajikan suatu relasi, karena fungsi merupakan bentuk khusus dari suatu relasi.

Ada 5 cara dalam meyajikan suatu fungsi :

1. Himpunan Pasangan Berurutan
2. Diagram Panah
3. Dengan Persamaan Fungsi
4. Dengan Tabel
5. Dengan Grafik

CONTOH :

Misalkan f adalah fungsi dari himpunan ke himpunan yang didefinisikan dengan pasangan berurut . Fungsi ini dapat dinyatakan dalam 5 cara, yaitu :

1. Himpunan pasangan berurutan

1. Diagram panah

1. Dengan persamaan fungsi

Dari himpunan pasangan berurutan didapat :

Jika anggota A kita sebut dan anggota B kita sebut , maka

Dari kita dapatkan

Bentuk ini biasa ditulis dengan ,untuk setiap inilah yang dinyatakan sebagai persamaan fungsi

1. Dengan tabel

Dari himpunan pasangan berurutan jika dinyatakan dalam tabel, sebagai berikut :

1. Dengan grafik

Dari himpunan pasangan berurutan jika dinyatakan dalam grafik sebagai berikut :

Latihan Soal :

Misalkan adalah fungsi dari himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan real R dengan persamaan

Nyatakan fungsi di atas dengan cara :

1. Pasangan berurutan
2. Diagram panah
3. Tabel
4. Grafik

3.4 Memahami Korespondensi Satu Satu

Korespondensi satu-satu adalah relasi atau fungsi yang memetakan atau memasangkan setiap anggota dari himpunan A pada tepat satu anggota B dan setiap anggota himpuan B pada tepat satu anggota A.

Banyak anggota himpunan A dan B harus sama atau n (A) = n (B).

Contoh :

1. Perhatikan diagram panah berikut :

Dari diagram panah tersebut, yang merupakan korespondensi satu satu adalah diagram 1, 3, 4, dan 5. Alasannya adalah setiap anggota himpunannya masing-masing memiliki tepat 1 pasangan.

1. Perhatikan himpunan pasangan berurutan berikut :

Dari himpunan pasangan berurutan tersebut yang merupakan korespondensi satu – satu adalah himpunan pasangan berutuan (iii), (iv), dan (vi). Alasannya adalah :

(iii) anggota himpunan nya tidak ada yang berulang pada himpunan yang sama. Himpunan pertama beranggotakan {5,6,7}, dan anggota himpunan yang kedua beranggotakan {6,7,5}

(iv) anggota himpunan nya tidak ada yang berulang pada himpunan yang sama. Himpunan pertama beranggotakan {1,2,3}, dan anggota himpunan yang kedua beranggotakan {1,2,3}

1. anggota himpunan nya tidak ada yang berulang pada himpunan yang sama. Himpunan pertama beranggotakan {a,b,2}, dan anggota himpunan yang kedua beranggotakan {a,b,2}

Untuk menghitung jumlah atau banyaknya korespondensi yang dapat dibentuk dari dua himpunan yang memiliki jumlah anggota yang sama misalkan n anggota dapat menggunakan rumus

n x (n-1) x (n-2) x …..x 3 x 2 x 1 atau sering dinotasikan dengan n! (dibaca n faktorial)

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut!

Contoh :

Diketahui A = {himpunan huruf pembentuk kata CERIA} dan B = {himpunan huruf vokal}. Berapakah banyak korespondensi satu-satu yang dapat dibentuk dari himpunan A dan himpunan B?

Jawab:

A = {C, E, R, I, A}

n(A) = 5

B = {a, i, u, e, o}

n(B) = 5

Banyak korespondensi satu-satu = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Jadi, banyak korespondensi satu-satu yang dapat dibentuk oleh himpunan A dan himpunan B adalah 120 buah

Kalian juga bisa simak melalui tautan berikut :

https://www.madematika.net/2017/10/mengenal-korespondensi-satu-satu-dan.html

Kemudian lengkapilah tabel berikut.

Tabel 3.6 Pernyataan fungsi dan bukan fungsi

Tuliskan simpulan kalian pada lembar pengamatan kalian.

Sekarang coba kalian terapkan simpulan tersebut untuk memeriksa apakah himpunan pasangan berurutan berikut merupakan fungsi dari himpunan B = {a, b} ke himpunan A = {p, q, r, s} atau tidak?

1. {(a, p), (b, p)}

2. {(a, p), (b, q)}

3. {(a, p), (b, r)}

4. {(a, q), (b, s)}

5. {(a, q), (a, r)}

6. {(a, r), (b, r)}

7. {(b, s), (b, r), (a, p)}

8. {(a, p), (b, q), (a, r)}

Ayo Kita Berbagi

Tulislah simpulan kalian tentang ciri-ciri dari fungsi A ke B, dan hasil pemeriksaan kalian terhadap 8 soal di atas.

Pertukarkan tulisan tersebut dengan teman sebangku. Secara santun, silakan saling berkomentar, menanggapi komentar, memberikan usul dan menyepakati ide-ide yang paling tepat.

Sedikit Informasi

Coba kalian ingat kembali pelajaran materi himpunan di kelas 7, kemudian perhatikan uraian berikut.

Relasi adalah aturan yang menghubungkan anggota-anggota dua himpunan. Akan tetapi, seperti diuraikan di atas, relasi dari himpunan A ke himpunan B tidak selalu berupa fungsi. Relasi tidak memaksakan semua anggota Domain dipasangkan. Relasi juga tidak memaksakan bahwa banyak pasangan dari setiap unsurnya harus tunggal. Relasi merupakan konsep yang lebih longgar dibandingkan fungsi. Karena itu, setiap fungsi adalah relasi, tetap tidak setiap relasi merupakan fungsi.

Berikut disajikan beberapa contoh fungsi yang mungkin bermanfaat bagi kalian.

Contoh 3.5

Pada peringatan Hari Kemerdekaan 17 Agustus misalnya, sering orang membuat pola potongan kertas yang disusun selang seling merah, putih, merah, putih, dan seterusnya. Orang menulisnya dengan merah, putih, merah, putih, merah, putih, …

Pola yang terjadi ini juga sebenarnya merupakan fungsi dari himpunan bilangan asli ke himpunan potongan kertas warna merah dan warna putih. Secara formal, barisan ini nantinya ditulis sebagai {(1, merah), (2, putih), (3, merah), (4, putih), (5, merah), …}.

Contoh 3.6

Pada waktu belajar tentang barisan bilangan, kita juga banyak belajar tentang fungsi dengan domain himpunan semua bilangan asli. Barisan bilangan kuadrat bisa ditulis dalam bentuk himpunan pasangan berurut {(1,1), (2,4), (3, 9), (4, 16), …}.

Contoh 3.7

Ketika belajar tentang hubungan antara harga barang dan banyaknya barang yang laku dijual, terutama kalau dinyatakan dalam bentuk persamaan linear y = mx + n, sebenarnya kita juga belajar fungsi.

Contoh 3.8

Dalam rangka menarik pelanggan untuk berinvestasi di perusahaan X, manager perusahaan itu menyampaikan rumus laba yang bisa diperoleh dari penjualan barangnya dengan rumus sebagai berikut: misalnya l = 25.000b – 5.000, dengan b menyatakan banyaknya barang yang laku, dan l besar laba yang diperoleh. Rumus ini menyatakan fungsi dari banyaknya barang yang laku (b) dengan besar laba yang diperoleh (l).

Ayo Kita Berlatih 3,2

Kerjakanlah soal-soal berikut.

1. Perhatikan aturan sandi di bawah ini.

Tulislah arti pesan sandi berikut.

a. gkqfuzxqax qrqsqi uxkxax atzoaq ro kxdqi

b. uxkxax qrqsqi gkqfuzxqax ro ltagsqi

Sandikan pesan berikut.

c. SAYA ANAK INDONESIA

d. MATEMATIKA ADALAH KEHIDUPANKU

2. Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 6} dan Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12}.

a. Jika dari P ke Q dihubungkan relasi “setengah dari”, tentukan himpunan anggota P yang mempunyai pasangan di Q.

b. Jika dari Q ke P dihubungkan relasi “kuadrat dari”, tentukan himpunan anggota Q yang mempunyai pasangan di P.