Shalat Sebagai Medium Pendidikan

Oleh: Priyanto, S.Pd.I., M.Pd.I.

(Kepala SMP Negeri 3 Kutasari)

Salah satu pengalaman Rasulullah saw dalam rangka mendidik taqwa kepada umat manusia ialah pengalaman Isra’ dan Mi’raj. Puncak dari perjalanan Isra’ Mi’raj adalah diterimanya perintah shalat wajib langsung dari Allah Swt tanpa melalui perantara sebagaimana perintah agama yang lain. Sepintas perintah shalat ini tidak jauh berbeda dengan perintah keagamaan lainnya. Namun jika direnungkan secara tepat dan mendalam, shalat mengandung dimensi kemanusian yang yang sangat luas. Dalam momentum peringatan Isra’ Mi’raj tahun ini perlu kiranya menelusuri pesan-pesan moral yang terkandung di dalamnya dengan melakukan muhasabah atas ibadah shalat kita selama ini dengan pertanyaan, sudah benarkah ibadah shalat kita?

Menurut Al-Jabiri, shalat selain memiliki misi spiritual-teologis juga memiliki misi moral-sosiologis sekaligus. Dalam hal ini, misi spiritual shalat adalah membimbing manusia memasuki alam kesadaran, bahwa ia hanyalah mahluk lemah. Sedangkan misi sosial adalah bagaimana mengajarkan manusia tentang nilai-nilai adiluhung demi menjadi manusia seutuhnya. Manusia yang berkepribadian utama, berakhlakul karimah, serta memahami setiap hak dan kewajiban dalam hidup berkomunitas.

Allah Swt berfirman: “Dan dirikanlah shalat, sesungguhnya shalat itu mencegah dari (perbuatan-perbuatan) keji dan munkar, dan sesungguhnya mengingat Allah (shalat) lebih besar (keutamaannya dari ibadah-ibadah lain), dan Allah mengetahui apa yang kamu kerjakan,” (Qs. al-Ankabuut: 45). Ayat ini mengisyaratkan bahwa salah satu pencapaian yang dituju oleh adanya kewajiban shalat adalah bahwa pelakunya menjadi tercegah dari kemungkinan berbuat jahat dan keji. Dan selanjutnya, mengindikasikan bahwa shalat merupakan salah satu rukun Islam yang mendasar dan pijakan utama dalam mewujudkan sistem sosial.

Kemalasan dan keengganan melaksanakan shalat di samping sebagai tanda-tanda kemunafikan, dan semakin lunturnya imannya seseorang, dalam skala besar merupakan tahapan awal kehancuran komunitas muslim. Karena secara empirik shalat merupakan faktor utama dalam proses penyatuan dan pembangunan kembali kekuatan-kekuatan komunitas muslim. Rasul bersabda: “Shalat adalah tiang agama, barang siapa menegakkannya, maka ia telah menegakkan agama, dan barang siapa merobohkannya, maka ia telah merobohkan agama” (HR. Imam Baihaqi). Itu artinya, kekokohan sendi-sendi sosial masyarakat muslim akan sangat tergantung kepada sejauhmana mereka menegakkan shalat yang sebenar-benarnya. Apabila hal ini tidak menjadi prioritas utamanya, maka kekeroposan sendi-sendi sosial kemasyarakatan akan menghinggapinya, yang berlanjut kepada kehancuran umat Islam itu sendiri. Kuatnya bangunan ditentukan oleh kokohnya tiang penyangga.

Sejatinya Islam adalah agama yang menjamin wujudnya keadilan sosial. Tapi kenyataannya di masyarakat cita-cita itu jauh panggang dari api. Sebaliknya, atmosfer sosial bangsa ini seakan telah tertutup kabut gelap; kemiskinan, kebodohan begitu kuat menjerat masyarakat. Sementara, korupsi telah membudaya di kalangan para pejabat negeri ini. Genaplah sudah penderitaan bangsa ini.

Adanya realitas semacam ini, tentu kita bertanya-tanya, apakah ini sebuah bentuk kecelakaan sejarah. Jika memang warga Indonesia mengaku muslim, sudah pastinya nilai-nilai ibadah shalat yang mengandaikan kesalehan spiritual dan sosial dapat menjamin wujudnya masyarakat yang madani? Bukankan shalat itu mencegah dari perbuatan keji dan mungkar (Qs. al-Ankabut: 45), sehingga korupsi semestinya menjadi perbuatan paling dibenci di negeri ini? Tapi agaknya ketaatan beragama dan berketuhanan orang-orang muslim di negeri ini tidak selalu termanifestasi dalam kesatuan manusia yang beradab, kebersatuan sebagai bangsa religius dan solid.

Kalau keadilan sosial tidak juga wujud sampai hari ini di Indonesia, pastilah ada yang salah dengan shalat yang dilakukan oleh orang-orang Islam di negeri ini. Ibadah shalat yang dilakukan sebagai ibadah spiritual nyatanya masih saja belum bisa ditransformasikan secara nyata ke dalam ibadah sosial umat Islam sehari-hari. Yang ada, shalat hanya dilakukan untuk menyombongkan kesalehan individual yang sejatinya tidak mereka miliki. “Maka kecelakaanlah bagi orang-orang yang shalat, (yaitu) orang-orang yang lalai dari shalatnya, orang-orang yang berbuat riya dan enggan (menolong dengan) barang yang berguna,” (Qs. al-Ma’un: 4-7).

Dalam kondisi seperti ini semua umat Islam memiliki tanggung-jawab yang sama, yakni bagaimana mentransformasikan nilai-nilai kesalehan spiritual ibadah shalat ke dalam kesalehan sosial yang wujud dalam kehidupan sehari-hari mereka. Dengan itu diharapkan, umat Islam sebagai kekuatan besar yang dimiliki bangsa ini, merasa memiliki tanggung jawab yang sama dalam menyelamatkan umatnya dari keterpurukan, penderitaan dan kemiskinan.

Shalat yang mempunyai fungsi kontrol atas bentuk-bentuk ketidak-adilan harusnya bisa betul-betul wujud dalam kepribadian dan menjadi komitmen bersama umat muslim di negeri ini. Sudah semestinya umat Islam berdiri di garda paling depan dalam mengusung semangat keadilan sosial dalam membela rakyat kecil, melindungi hak kaum miskin, menentang segala bentuk diskriminasi dan melakukan protes sosial terhadap pemerintahan yang korup atau yang semata mengajar kepuasan politik pribadi.

Ibadah shalat cukup menjadi bekal aksi. Sebagai sebuah medium pendidikan, shalat memiliki segudang kelengkapan materi. Materi pendidikan akan prinsip hidup dan berkehidupan. Takbir adalah pendidikan tentang semangat pengabdian. Wudhu adalah pendidikan tentang purifikasi dan kejujuran. Ketetapan lima waktu shalat adalah pendidikan tentang kedisiplinan. Bentuk ritual shalat berjamaah adalah pendidikan tentang persamaan dan kebersamaan. Salam adalah pendidikan tentang kepedulian.

Al-hasil, jika manusia mampu menanamkan kembali moralitas ketuhanan ke dalam jiwanya maka terciptalah pribadi unggul (insan kamil); pribadi yang sifat dan perilakunya selalu berimplikasi baik terhadap makhluk yang lain (rahmatan li al-alamin). Wallahu a’lamu bis shawab.

HUT ke-17, SPENTRIKU Launching Buku dan Si-APIK

Kutasari, 17 Januari 2022—SMP Negeri 3 Kutasari menorehkan prestasi yang membanggakan dengan meluncurkan buku berjudul Meniti Pandemi dan Si-APIK. Buku Meniti Pandemi merupakan kumpulan puisi yang di tulis oleh Kepala Sekolah, Guru, dan Karyawan SMP Negeri 3 Kutasari, Bait-bait puisi ini, merupakan respon positif terhadap pandemic covid-19 dengan tetap produktif dalam bekerja dan berkarya. Buku ini mencantumkan aspirasi, artinya menggambarkan bermacam-macam suasana sudut pandang yang ada, suka dan duka, resah dan gelisah, sendu dan sedan, pesimis dan optimis serta solusi dan strategi. Selain itu juga menggambarkan perjuangan yang gigih guru dan karyawan SMP Negeri 3 Kutasari, yang dirangkai dalam bait-bait puisi “Meniti Pandemi”.

Selain launching buku meniti pandemi, SMP Negeri 3 Kutasari juga melaunching si-APIK, yaitu System Administrasi Pembelajaran dan Informasi Kepegawaian. System diharapkan dapat membantu sekolah dalam penguatan mutu pembelajaran di masa pandemic covid-19 dimana SMP Negeri 3 Kutasari masih menerapkan bended learning, 50% pembelajaran dengan tatap muka dan 50% sisanya pembelajaran dilaksanakan dengan daring.

Acara launching buku meniti pandemic dan si-APIK merupakan acara puncak rangkaian peringatan Hari Ulang Tahun SMP Negeri 3 Kutasari yang ke-17. Ada beberapa kegiatan yang dilaksanakan diantaranya adalah lomba tumpeng, lomba kebersihan kelas, pemilihan guru dan karyawan teladan, Apel, launching buku dan si-APIK, serta Tasrakuran. Acara dihadiri oleh pengawas Dindikbud Kab. Purbalingga Eko Supriyanto, S.Pd. dan Komite Sekolah.

Acara launching buku dan Si-APIK dibuka dengan sambutan Kepala SMP Negeri 3 Kutasari. Dalam sambutannya, Priyanto, S.Pd.I., M.Pd.I. menyampaikan bahwa meski dimasa pandemi covid-19 kita musti tetap produktif dan semangat dalam berkarya. Selain itu, sekolah harus mampu menjamin mutu pembelajaran kepada peserta didik. Salah satu upaya control mutu pembelajaran adalah dengan dilaunchingnya si-APIK. Lebih lanjut Priyanto juga meyampaikan bahwa momen Hari Ulang Tahun Sekolah ke-17 menjadi wahana evaluasi kerja sekolah selama 17 tahun sekaligus sebagai wahana menyusun proyeksi untuk kemajuan sekolah di masa yang akan datang. Untuk itu pada HUT ke-17 ini SMP Negeri 3 Kutasari mengambil tema The Bright Seventeen, semoga ke depan semakin bersinar.

Diakhir acara launching diberikan penghargaan kepada juara lomba tumpeng, lomba kebersihan kelas, guru dan karyawan berdedikasi. Acara Launching dan tasyakuran selesai pada pukul 13.00 WIB. [pri]

Wudhu Sebagai Hidromassage dalam Kesehatan

Oleh : Priyanto, S.Pd.I., M.Pd.I.

(Kepala SMPN 3 Kutasari)

Wudhu merupakan salah satu ajaran Islam untuk menjaga kesucian tubuh yang secara khusus dilaksanakan sebelum menjalankan ibadah tertentu, seperti shalat, berzikir, berdoa, membaca Al-Qur’an dan lain-lain. Selain itu, wudhu juga bisa dilakukan sebelum mengerjakan aktifitas lain, seperti tidur, bekerja, belajar, perjalanan dan lain sebagainya. Pengertian wudhu secara garis besar adalah membersihkan/ menyucikan diri dari segala kotoran dan najis, dimulai dengan membasuh muka (disertai niat) dan diakhiri dengan membasuh kedua kaki. Dalam fiqih mazhab Syafi’i, ada enam hal yang menjadi rukun wudhu, yakni niat, membasuh muka, membasuh kedua tangan hingga siku, mengusap sebagian kepala, membasuh kedua kaki sampai mata kaki, dan tertib.

Adapun perintah berwudhu dijelaskan dalam QS. Al-Maidah ayat 6, Hai orang-orang yang beriman, apabila kamu hendak mengerjakan shalat, maka basuhlah mukamu dan tanganmu sampai dengan siku, dan sapulah kepalamu dan (basuh) kakimu sampai dengan kedua mata kaki. Selain itu, dalam hadits Rasulullah saw., Barang siapa yang wudhu seperti wudhuku ini, kemudian shalat dua rakaat tanpa membisikkan sesuatu ke dalam hatinya (khusyu) selama shalat dua rakaat itu, maka Allah akan mengampuni dosa-dosanya yang telah lalu” (HR. Bukhari dan Muslim).

Sebagai ajaran Islam, wudhu mengandung banyak hikmah dan manfaat. Diantara manfaat wudhu adalah anggota tubuh yang dibasuh dalam wudhu akan bercahaya pada hari kiamat, dapat menghapuskan dosa-dosa dan lain sebagainya. Tidak hanya itu, wudhu juga memiliki manfaat bagi kesehatan tubuh. Mukhtar Salim menjelaskan dalam bukunya yang berjudul Prayers, A Sport for The Body and Soul, bahwa berwudhu yang baik dan benar dapat mencegah timbulnya berbagai macam penyakit. Orang yang berwudhu secara otomatis membersihkan anggota tubuh dan kulitnya. Ia selalu menjaga kebersihan hidungnya, tangannya, wajahnya, hingga kedua kakinya. Bahkan berwudhu bisa mencegah kanker kulit. Setiap hari orang pasti bersentuhan dengan banyak elemen, termasuk bahan-bahan kimia. Dengan berwudhu, bahan kimia yang menempel dikulit akan larut dan hilang.

Para sarjana Barat telah banyak yang meneliti tentang manfaat wudhu. Diantaranya adalah Leopold Werner von Ehrenfels (psikiater dan neurolog Austria). Berdasarkan hasil penelitiannya, ia mengatakan bahwa berwudhu menjadikan tubuh selalu sehat. Selain itu, Ahmad Syauqi Ibrahim (ahli penyakit dalam dan jantung), mengatakan bahwa mencelupkan anggota tubuh ke dalam air (mengalirkan air) akan bisa mengembalikan tubuh yang lemah menjadi kuat, mengurangi kekejangan, menjadikan rileks saraf otot, serta hilangnya kenaikan detak jantung, nyeri-nyeri otot, kecemasan, dan insomnia (susah tidur).

Selanjutnya penelitian dr. Magomedov, menyimpulkan bahwa wudhu mampu menstimulasi irama tubuh secara alami. Hal ini terjadi karena pada anggota tubuh yang dibasuh ketika wudhu terdapat 61 titik dari 65 titik refleks China (drastic point) yang cukup dipijat atau diusap secara lembut untuk mengaktifkannya. Stimulus yang diberikan pada titik-titik tersebut melalui sentuhan, usapan, dan guyuran air wudhu akan diantarkan melalui meridian ke sel, jaringan, organ, dan sistem organ yang bersifat terapi. Hal ini terjadi karena adanya sistem regulasi, yaitu sistem saraf dan hormone bekerja untuk mengadakan homeostansis (keseimbangan). Dari berbagai hal tersebut, dapat disimpulkan bahwa wudhu selain sebagai ibadah juga dapat dikategorikan sebagai hidromassage atau pijat dengan memanfaatkan air sebagai media penyembuhan. Ayo Wudhu!!!. Wallahua’lambishshawaab.

Guru IPS : Perdana Oviana Saputro, S.Pd.

Perdana Oviana Saputro biasa dipanggil Perdana atau Dana. Perdana lahir di Purbalingga pada tanggal 07 November 1992, dari pasangan Sukhad dan Sugiyanti. Ia merupakan anak pertama dan mempunyai dua saudara kandung bernama Dwi Asalia Nurita dan Gifani Rosilia. Perdana menghabiskan waktu kecil dan remaja di daerah Purbalingga Wetan tepatnya di Jalan Lawet 35B Purbalingga atau belakang kantor Kejaksaan Negeri Purbalingga. Sekarang ia telah menikah dengan wanita bernama Hafi Diana Pratiwi dan dikaruniai seorang anak bernama Althaf Dzakiandra Putra (4 tahun) dan tinggal di Desa Kedarpan, Kejobong, Purbalingga.

Perdana memulai pendidikan formal di SD Negeri 1 Purbalingga Wetan (lulus 2004). Kemudian melanjutkan ke SMP Negeri 1 Purbalingga (lulus 2007). Pada tahun yang sama, ia melanjutkan sekolahnya di SMA Negeri 1 Purbalingga dan lulus pada 2010. Setelah lulus SMA, Perdana melanjutkan pendidikannya di salah satu perguruan tinggi di Kota Pelajar yaitu Universitas Negeri Yogyakarta. Ia diterima di Program Studi Pendidikan Ekonomi pada tahun 2010 dan lulus pada tahun 2015.

Saat ini Perdana mengajar mata pelajaran IPS di SMP Negeri 3 Kutasari dan diberikan tugas tambahan sebagai wali kelas 7 D dan Bendahara BOS.

Wakil Kepala Sekolah : Choirul Rahmawati, S.Pd.

Choirul Rahmawati, putri ketiga dari empat bersaudara lahir di Surakarta, 8 Juli 1972 saat ini bekerja sebagai pengajar Mata Pelajaran IPA di SMP Negeri 3 Kutasari, Kabupaten Purbalingga. Memulai pendidikan formal tahun 1978 di SDN 1 Banyuanyar, Surakarta, kemudian berlanjut di SMP N 12 Surakarta dan SMA N 6 Surakarta. Dan pada tahun 1995 menyelesaikan pendidikan di Jurusan Pendidikan Biologi ProgramStudi MIPA di Universitas Muhammadiyah Surakarta.

Ibu dari tiga orang anak laki-laki, bertempat tinggal di Penambongan Rt 03 Rw 04 Kecamatan Purbalingga, Kabupaten Purbalingga. Hobby membaca dan menulis puisi sejak SMA tapi sempat terhenti setelah menyelesaikan pendidikan di Universitas. Setelah menjadi pengajar mencoba mengasah kembali hobby lama.

Guru Bahasa Inggris : Aicca Indra Bayu Purwono, S.Pd.

Namanya adalah Aicca Indra Bayu Purwono, Lahir di Purbalingga, 17 April 1988, ia adalah anak pertama dari tiga bersaudara. Indra adalah panggilan akrabnya.

Memulai pendidikan di SDN Karangklesem 01, setelah lulus dia melanjutkan pendidikannya di SMPN 1 Kutasari di tahun 2000. Selepas lulus dari SMP di tahun 2002, kemudian melanjutkan studinya di SMK YPLP Perwira Purbalingga sampai tahun 2005 lalu dilanjutkan berkuliah di Universitas Muhammadiyah Purwokerto jurusan Pendidikan Bahasa Inggris.

Dan sekarang dia menjadi Guru Bahasa Inggris di SMP N 3 Kutasari dan diberi tugas tambahan sebagai Pembina Pramuka.

Kepala Sekolah SMP N 3 Kutasari : Priyanto, S.Pd.I., M.Pd.I.

Priyanto lahir di Purbalingga pada tanggal 24 September 1979, dari pasangan Achmad Sukadi dan Senen (Almh) di desa Majapura. Masa kecil dan remajanya ia habiskan di Majapura dengan mengenyam pendidikan agama di masjid Baitul Muttaqien di bawah asuhan KH. Ahmad Syafi’i dan Kyai Khoerun, selanjutnya di Pondok Pendidikan Islam (PPI) Majapura di bawah asuhan KH. Mas’ut Noer Halim, kemudian belajar kitab kuning di rintisan Pondok Pesantren Mambaul Hisan di bawah asuhan KH. Slamet Nurhayanto.

Priyanto menempuh pendidikan formal di SD N 2 Majapura, SMP N 2 Bobotsari, SMK KB Purbalingga, S-1 PAI STAIN Purwokerto, S-2 MPI IAIN Purwokerto, dan saat ini sedang menempuh pendidikan S-3 Studi Islam di UIN Saezu Purwokerto.

Beberapa karya tulisnya dimuat di mediamassa, majalah dan jurnal. Adapun karya tulis berupa buku yang sudah diterbitkan diantaranya; Spiritualitas Pendidikan Islam (2016), Khasanah Pendidikan Islam (ed.) (2017), Konsep Bermain Dalam PAI (2017), Kepemimpinan Sekolah Islam (2018), Moderasi Islam Antologi Wacana Pendidikan dan Agama (2019), kontributor buku Moderasi Beragama dalam PAI (2019), Kontributer dalam Buku Kazanah Pendidikan Indonesia Julid 1, 2, dan 3 (2020), Arah Baru Pendidikan Agama Islam di Era Digital (2020), Pendidikan Islam Naquib Al Attas (2021), dan Bersama guru-karyawan SMP N 3 Kutasari menulis buku berjudul Meniti Pandemi (2022).

Ia juga aktif diberbagai pelatihan, sebagai peserta, narasumber, fasilitator, maupun instruktur k-2013. Ayah dari Harfian Muhammad Iqbal (kelas 9 SMP) dan Hauriza Maulidya Islami (kelas 7 SMP), adalah guru SMP berprestasi Kab. Purbalingga (2015) dan juara menulis buku (2021). Saat ini diamanahi sebagai Ketua DPD AGPAII Kab. Purbalingga 2019-2024 dan Kepala SMP N 3 Kutasari.

KOORDINAT KARTESIUS

Materi Sistem Koordinat Kartesius SMP Kelas 8 Kurikulum 2013

Bismillah….

Para peserta didik yang berbahagia. Kali ini kembali kami akan berbagi materi tentang pelajaran matematika SMP Kelas VIII (Delapan) Kurikulum 2013 yaitu Sistem Koordinat Kartesius.

Yuk kita langsung saja berkenalan dan belajar bersama! Selamat belajar!!

Mengenal Sistem Koordinat

Sistem koordinat kartesius adalah suatu sistem untuk menentukan posisi suatu titik / benda / unsur geometri menggunakan satu atau dua atau lebih bilangan dan memiliki sumbu yang tetap.

Diagram kartesius terbagi menjadi dua buah sumbu, yaitu sumbu X (absis) dan sumbu Y (ordinat).

Pada sistem koordinat, kita menjelaskan koordinat dari suatu titik, menentukan suatu posisi berdasarkan jaraknya kepada kedua sumbu, baik terhadap sumbu X (absis) maupun terhadap sumbu Y (ordinat), dan menentukan posisi suatu titik terhadap titik yang lain sebagai acuan.

Untuk lebih memahaminya, silahkan lihat contoh-contoh soal berdasarkan gambar di bawah ini:

Kuadran I : Pada kuadran I X (absis) akan selalu bernilai positif (+) dan Y (ordinat) akan selalu bernilai positif (+)

Kuadran II : Pada kuadran II X (absis) akan selalu bernilai negatif (-) dan Y (ordinat) akan selalu bernilai positif (+)

Kuadran III : Pada kuadran III X (absis) akan selalu bernilai negatif (-) dan Y (ordinat) akan selalu bernilai negatif (-)

Kuadran IV : Pada kuadran IV X (absis) akan selalu bernilai positif (+) dan Y (ordinat) akan selalu bernilai negatif (-)

Contoh soal dan pembahasan terkait dengan titik koordinat, posisi suatu titik terhadap sumbu X dan Y, dan juga posisi suatu titik terhadap titik yang lain:

A. Menentukan Titik Koordinat

Perhatikan gambar pada koordiat kartesius di atas dan penyelesaiannya berikut ini:

1) Tentukan koordinat titik B!

Jawaban : B(-2,-1)

Penjelasan:

Untuk menentukan titik koordinat B, kita mulai dengan menentukan nilai sumbu X (absis) terlebih dahulu, dengan cara melangkah mulai dari titik O (0,0) ke arah sebelah kiri menuju titik B sebanyak 2 langkah. Kemudian tentukan nilai sumbu Y (ordinat) dengan cara melangkah mulai dari titik O (0,0) ke bawah menuju titik B sebanyak 1 langkah. Maka di dapat koordinat titik B adalah X= -2 dan Y= -1.

2) Tentukan koordinat titik E!

Jawaban : E(4,-4)

Penjelasan:

Untuk menentukan titik koordinat E, kita mulai dengan menentukan nilai sumbu X (absis) terlebih dahulu, dengan cara melangkah mulai dari titik O (0,0) ke arah sebelah kanan menuju titik E sebanyak 4 langkah. Kemudian tentukan nilai sumbu Y (ordinat) dengan cara melangkah mulai dari titik O (0,0) ke bawah menuju titik E sebanyak 4 langkah. Maka di dapat koordinat titik B adalah X= 4 dan Y= -4.

B. Menentukan Posisi Suatu Titik terhadap Sumbu X dan Y

Perhatikan contoh soal dan penyelesaiannya berikut ini:

1) Tentukan posisi titik C terhadap sumbu X dan Y

Jawaban : Posisi titik C adalah 4 satuan di atas sumbu X dan 1 satuan disebelah kiri sumbu Y

2) Tentukan posisi titik B terhadap sumbu X dan Y

Jawaban: Posisi titik B adalah 1 satuan di bawah sumbu X dan 2 satuan di sebelah kiri sumbu Y

3) Tentukan posisi titik E terhadap sumbu X dan Y

Jawaban: Posisi Titik E adalah 4 satuan di bawah sumbu X dan 4 satuan di sebelah kiri sumbu Y

C. Menentukan Posisi Suatu Titik terhadap Titik yang Lain

Perhatikan contoh soal dan penyelesaiannya berikut ini:

1) Tentukan posisi titik A terhadap titik B!

Jawaban: Posisi titik A terhadap titik B adalah 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas.

Penjelasan :

Posisi titik A terhadap titik B artinya pusatnya berada pada titik B. Maka kita akan melangkah menuju titik A yang diawali dari titik B. Untuk melangkahnya dimulai dengan sumbu yang sejajar dengan sumbu X artinya melangkah kekiri atau kekanan. Pada soal di atas, karena kita akan menuju titik A maka dari titik B kita melangkah ke sebelah kiri sebanyak 2 kali, kemudian melangkah ke atas sebanyak 2 kali. Maka kita akan berhenti pada titik A.

2) Tentukan posisi titik D terhadap A!

Jawaban: Posisi titik D terhadap A adalah 6 satuan ke kanan dan 1 satuan ke atas.

Penjelasan :

Posisi titik D terhadap titik A artinya pusatnya berada pada titik A. Maka kita akan melangkah menuju titik D yang diawali dari titik A. Untuk melangkahnya dimulai dengan sumbu yang sejajar dengan sumbu X artinya melangkah kekiri atau kekanan. Pada soal di atas, karena kita akan menuju titik D maka dari titik A kita melangkah ke sebelah kanan sebanyak 6 kali, kemudian melangkah ke atas sebanyak 1 kali. Maka kita akan berhenti pada titik D.

Demikian ulasan tentang ringkasan materi titik koordinat mata pelajaran Matematika SMP kelas 8 (delapan) K13. Terimakasih sudah berkunjung dan semoga bermanfaat.

Soal Latihan

Perhatikan gambar!

Tentukanlah koordinat titik A, B, C, D, E dan titik F.

Sistem Persamaan Lienear Dua Variabel

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

  1. Memahami Konsep Sistem Persamaan Linear Dua variabel
  2. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)

Sebelum mempelajari sistem persamaan linear dua variabel, terlebih dahulu kita perlu memahami apa itu persamaan linear dua variabel. Persamaan linear dua variabel (PLDV) adalah suatu persamaan yang tepat mempunyai dua variabel dan masing-masing variabelnya berpangkat satu.

Berikut beberapa contoh persamaan linear dua variabel.

Penyelesaian dari persamaan linear dua variabel dapat ditentukan dengan menyubstitusikan (mengganti) suatu nilai ke sebuah variabel, kemudian akan diperoleh nilai variabel yang lainnya. Untuk sebuah persamaan linear dua variabel, terdapat lebih dari satu penyelesaian.

  1. Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah dua buah PLDV yang saling terkait, dan kedua PLDV tersebut memiliki penyelesaian atau akar yang sama.

Selanjutnya, sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dapat disajikan dalam berbagai bentuk dengan berbagai variabel, misalnya:

Perbedaan antara persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear dua variabel yaitu sebuah persamaan linear dua variabel (PLDV) mempunyai penyelesaian yang tak berhingga banyaknya. Sementara itu, sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) pada umumnya hanya mempunyai satu pasangan nilai sebagai penyelesaiannya. PLDV adalah sebuah persamaan yang mandiri, artinya penyelesaian PLDV itu tidak terkait dengan PLDV yang lain, sedangakan SPLDV terdiri dari dua PLDV yang saling terkait, dalam arti penyelesaian SPLDV harus sekaligus memenuhi kedua PLDV pembentuknya.

  1. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Menggambar Grafik

Penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berupa pasangan berurutan yang merupakan salah satu penyelesaian untuk setiap persamaan. Penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel adalah titik potong grafik dari kedua persamaan.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan menggambar grafik, langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut.

  1. Gambar grafik kedua persamaan dalam satu bidang koordinat.
  2. Perkirakan titik perpotongan kedua grafik.
  3. Periksa titik potong kedua grafik dengan menyubstitusikan nilai x dan y ke dalam setiap persamaan.

Contoh:

  1. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan

Penyelesaian:

  1. Gambar grafik kedua persamaan.
  • Perhatikan persamaan

Menentukan koordinat dua titik yang terletak pada grafik tersebut. Supaya lebih mudah, untuk persamaan di atas kita menentukan titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y.

  • Perhatikan persamaan
  • Grafik dari kedua persamaan tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.
  1. Perkirakan titik potong kedua grafik.

Titik potong kedua grafik adalah (6, -2).

  1. Periksa titik potong.

Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah

  1. Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan menggunakan grafik.

Penyelesaian:

  1. Gambar grafik kedua persamaan.
  • Perhatikan persamaan
  • Perhatikan persamaan
  • Grafik dari kedua persamaan tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.
  1. Perkirakan titik potong kedua grafik.

Garis sejajar, sehingga tidak mempunyai titik potong.

Jadi, sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

CARA MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL

Terdapat 4 metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPLDV, yaitu:

1. Metode grafik

Pada metode grafik, kita akan menggambar grafik dari dua buah persamaan yang telah kita buat pada langkah sebelumnya. Cara yang paling mudah untuk menggambar grafik adalah dengan mencari titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y. Berdasarkan contoh di atas, kita dapat menentukan titik potong dari masing-masing persamaan sebagai berikut:

penyelesaian spldv metode grafik

 Sehingga, diperoleh titik potong dari kedua garis yaitu (x,y) = (100,170). Sebelumnya, kita telah memisalkan panjang tali dengan variabel x dan tinggi Kumamon dengan variabel y. Jadi, sudah dapat ditentukan nih berapa panjang tali dan juga tinggi si Kumamon itu. YapJawabannya adalah 100 cm untuk panjang tali dan 170 cm untuk tinggi Kumamon.

Bagaimana, mudah, kanMetode grafik ini biasanya berguna jika nilai koefisien dan nilai konstanta dari persamaannya bukan merupakan bilangan bulat, sehingga lebih baik digambar untuk memudahkan mencari nilai x dan y nya.

2. Metode eliminasi

Metode yang kedua adalah metode eliminasi. Metode ini bertujuan untuk mengeliminasi salah satu variabel untuk mengetahui nilai variabel lainnya. Caranya dapat kamu lihat pada contoh di bawah ini. 

penyelesaian spldv metode eliminasi

 Berdasarkan metode eliminasi, diperoleh nilai x = 100 dan y = 170. Jadi, dapat diketahui kalau panjang tali adalah 100 cm dan tinggi badan Kumamon adalah 170 cm. Sampai sini, menurut kamu, lebih mudah pakai metode yang mana, nihHehe

3. Metode substitusi

Metode substitusi bertujuan untuk mengganti nilai suatu variabel di suatu persamaan dari persamaan lainnya. Hah?! Gimana, gimana? Tenang, kalau bingung, caranya dapat kamu lihat ada contoh berikut ini:

penyelesaian spldv metode substitusi

Berdasarkan metode substitusi, diperoleh nilai x = 100 dan y = 170. Jadi, dapat diketahui kalau tinggi badan Kumamon adalah sebesar 170 cm dan tali yang dipakai Kumamon untuk bermain lompat tali adalah 100 cm.

4. Metode gabungan

Metode ini merupakan gabungan dari metode eliminasi dan substitusi. Caranya, kamu dapat menggunakan metode eliminasi untuk mencari nilai x terlebih dahulu, kemudian ganti variabel x dengan nilai x yang sudah diperoleh dengan menggunakan metode substitusi untuk memperoleh nilai y. Paham, nggakYuk, kita simak baik-baik caranya pada contoh di bawah ini!

penyelesaian spldv metode gabungan

Berdasarkan metode gabungan, diperoleh nilai x = 100 dan y = 170. Sehingga, dapat diketahui kalau panjang tali adalah sebesar 100 cm dan tinggi Kumamon adalah 170 cm. Perlu kamu ketahui kalau metode gabungan ini merupakan metode yang paling banyak dipakai untuk menyelesaikan masalah SPLDV.

Nah, kalau kamu perhatikan, dari keempat metode penyelesaian SPLDV di atas, akan diperoleh hasil yang sama. Jadi, bebas sebenarnya mau pakai metode yang mana saja. Meskipun begitu, kamu harus tetap menguasai keempat-empatnya, ya.   

Selanjutnya, kita akan mencari tahu berapa panjang tali yang diperlukan agar Kumamon dapat bermain lompat tali tanpa harus tersangkut di tubuh gemoynya. Jika kamu membaca kembali contoh soal di atas, maka dapat diketahui kalau setidaknya, tali tersebut harus dua kali lebih panjang dari ukuran sebelumnya (2x). Jadi, sudah dapat kita ketahui ya, kalau panjang tali yang diperlukan agar tidak tersangkut di tubuh gemoy Kumamon adalah 2x = 2(100) = 200 cm.

Oke, apa tanggapanmu setelah mempelajari keempat metode penyelesaian SPLDV di atas? Easy bukan? Meskipun kelihatannya panjang dan rumit, tapi jika kamu memperbanyak latihan soal, pasti akan mudah, kok.

Oh iya, bagi kamu yang masih bingung dengan materi ini, jangan ragu untuk tuliskan pertanyaanmu lewat Class room atau lewat WA ke bu guru ya ?

LATIHAN SOAL

1. Perhatikan persamaan-persamaan berikut !
(i) 3p + 5q = 10
(II) 2×2 – 3y = 6
(III) 3y = 5x – 2
(IV) 3x + 5 = 2x – 3y

Yang bukan merupakan persamaan linear dua variabel adalah ….
a. (i)
b. (II)
c. (III)
d. (IV)
Pembahasan:
(i) 3p + 5q = 10 : merupakan PLDV karena terdapat variabel p dan q
(II) 2×2 – 3y = 6 : bukan PLDV karena 2×2 merupakan bagian dari persamaan kuadrat bukan persamaan linear


(III) 3y = 5x – 2 : merupakan PLDV karena terdapat variabel x dan y
(IV) 3x + 5 = 2x – 3y : merupakan PLDV karena terdapat variabel x dan y
Jawaban: b

2. Perhatikan persamaan-persamaan berikut !
(i) 15 – 5x = 23
(II) 5x = 20 – 3y
(III) x2 – y2 = 49
(IV) 3×2 + 6x + 12 = 0

Yang merupakan persamaan linear dua variabel adalah ….
a. (I)
b. (II)
c. (III)
d. (IV)
Pembahasan:
(i) 15 – 5x = 23 : bukan PLDV karena hanya terdapat satu variabel
(II) 5x = 20 – 3y : merupakan PLDV kkarena terdapat variabel x dan y
(III) x2 – y2 = 49 : bukan PLDV karena x2 dan y2 merupakan bagian dari persamaan kuadrat bukan persamaan linear


(IV) 3×2 + 6x + 12 = 0 : bukan PLDV karena terdapat 3×2 merupakan bagian dari persamaan kuadrat bukan persamaan linear
Jawaban: b

3. Rina membeli 3 kg apel dan 2 kg jeruk. Uang yag harus dibayarkan adalah Rp 65.000,00.
Jika diubah menjadi persamaan linear dua variabel, maka pernyataan tersebut menjadi ….
a. 3x + 2y = 65.000
b. 3x – 2y = 65.000
c. 3x + 2y = 65
d. 3x – 2y = 65
Pembahasan:
Misal x = apel
Y = jeruk
Harga 3 kg apel dan 2 kg jeruk = 65.000
Jika dijadikan persamaan linear dua variabel adalah 3x +2y = 65.000
Jawaban: a

4. Seorang pedagang menjual 3 buah pensil dan 5 buah buku seharga Rp 19.500,00.
Jika diubah menjadi persamaan linear dua variabel, maka pernyataan tersebut menjadi ….
a. 3x – 5y = 19.5
b. 3x + 5y = 19.500
c. 3x – 5y = 19.5
d. 3x + 5y = 19.500
Pembahasan :
Misal x = pensil
Y = buku
Harga 3 buah pensil dan 5 buah buku adalah 19.500
Jika dijadikan persamaan linear dua variabel adalah 3x + 5y = 19.500
Jawaban : d
5. Keliling sebuah persegi panjang adalah 64 cm.
Jika diubah menjadi persamaan linear dua variabel, maka pernyataan tersebut menjadi ….
a. 2p – 2l = 64
b. p x l = 64
c. 2p + 2l = 64
d. p + l = 64
Pembahasan :
Rumus keliling persegi panjang = (2 x panjang) + (2 x lebar)
Missal p = panjang
l = lebar
Bentuk persamaan linear akan menjadi : 2p + 2l =64
Jawaban : c

6. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 12, x – y = 4 adalah ….
a. { 4 , 8 }
b. { 12 , 4 }
c. { 4 , 12 }
d. { 8 , 4 }

https://3.bp.blogspot.com/-HMpDVOtcYo8/XJsPIhO4AXI/AAAAAAAAJs0/tZfEd0MjbdclGQjGhbqGGdKwrEIMpjBygCLcBGAs/s1600/Soal-PLDV-1.jpg

7. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – y = 6, x + y = 10 adalah ….
a. {8 , 2}
b. {2 , 8}
c. {6 , 10}
d. {10 , 6}

https://1.bp.blogspot.com/-DRZSMSkgzyM/XJsP1cKv1RI/AAAAAAAAJs8/-2evMaQ_mewvcARdZSILNKQITl8vvGRbwCLcBGAs/s1600/Soal-PLDV-2.jpg

8. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 1, 4x – 3y = 9 adalah ….
a. {1, 3 }
b. {2, 5 }
c. {3, 1 }
d. {4, 3 }

https://4.bp.blogspot.com/-wDxa9uPJSMs/XJsQ3d-f9UI/AAAAAAAAJtI/iRUTpnKV01w9WZ2WOCN8CHr_kHSbUlqLACLcBGAs/s1600/Soal-PLDV-3.jpg

9. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – y = 4, -2x – 3y = -4 adalah ….
a. {4 , -4}
b. {2 , 0}
c. {2 , 3}
d. {2 , -2}

https://3.bp.blogspot.com/-lnFvoxEF2dw/XJsR0lRl9gI/AAAAAAAAJtQ/aDEA6TaNG9IG3LMXix8xDLaldyv1r4DIwCLcBGAs/s1600/Soal-PLDV-4.jpg

10. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 4x = 5y, 3y = 7 – 5x adalah ….
a. {-35/13 , -28/13}
b. {28/13, 35/13}
c. {-28/13, -35/13}
d. {35/13 , 28/13}

https://1.bp.blogspot.com/-8s06mrIwC4M/XJsSiZpCF-I/AAAAAAAAJtY/ypfS4nLOyzke66Cj6z7Jq1TD4O6YRMT0gCLcBGAs/s1600/Soal-PLDV-5.jpg

DAFTAR PUSTAKA

Adinawan, M. Cholik dan Sugijono. 2013. Matematika SMP Jilid 2B Kelas VIII Semester 2. Jakarta: Erlangga

As’ari, Abdur Rahman, et. al. 2017. Buku Siswa Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII Semester 1 Edisi Revisi. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.

Relasi dan Fungsi

KOMPETENSI DASAR

3.3. Mendeskripsikan dan menyatakan relasi dan fungsi dengan menggunakan berbagai

representasi (kata-kata, tabel, grafik, diagram, dan persamaan).

4.3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan relasi dan fungsi dengan

menggunakan berbagai representasi.

BAB 3

RELASI DAN FUNGSI

Memahami Relasi

Perhatikan bagan silsilah keluarga berikut

Gambar 3.1 Bagian Silsilah Keluarga

Gambar 3.1 menunjukkan silsilah keluarga Bapak Madhuri dan Ibu Marhawi. Tanda panah menunjukkan hubungan “mempunyai anak”. Empat anak Pak Madhuri dan Bu Marhawi adalah Sulastri, Idris, Halim, dan Tohir.

Jika anak-anak Pak Madhuri dan Bu Marhawi dikelompokkan menjadi satu dalam himpunan A, maka anggota himpunan A adalah Sulastri, Idris, Halim, dan Tohir.

A = {Sulastri, Idris, Halim, Tohir}

Sedangkan cucu-cucu dari Pak Madhuri dan Bu Marhawi dapat dikelompokkan dalam himpunan B, maka anggota himpunan B adalah Wafi, Faisal, Alu’, Risqi’, Alvin, Najwa, dan Suci.

B = {Wafi, Faisal, Alu’, Risqi, Alvin, Najwa, Suci}

Hubungan anggota himpunan B ke anggota himpunan A memiliki hubungan keluarga (relasi) “anak dari”. Sedangkan hubungan anggota himpunan B dengan Pak Madhuri dan Bu Marhawi memiliki relasi “cucu dari”.

Kedua bentuk hubungan yang telah diuraikan, merupakan salah satu bentuk hubungan yang dapat dibuat. Coba sekarang kalian temukan bentuk-bentuk hubungan yang mungkin dari silsilah keluarga dari Gambar 3.1.

Untuk mengetahui hubungan atau relasi antara dua himpunan, perhatikan video berikut

Setelah melihat video silahkan kerjakan soal Latihan soal berikut

  1. Buatlah diagram Kartesius dari relasi “satu lebihnya dari” himpunan

{2, 3, 5, 9, 12} ke himpunan {1, 4, 7, 10, 13}.

2. Diketahui A = {2, 6, 8, 9, 15, 17, 21} dan B = {3, 4, 5, 7}. Nyatakanlah hubungan dari himpunan A ke himpunan B sebagai relasi kelipatan dari dengan menggunakan diagram panah.

Kegiatan 3.2

Memahami Ciri-ciri Fungsi

Fungsi merupakan salah satu konsep penting dalam matematika. Dengan mengenali fungsi atau hubungan fungsional antar unsur-unsur matematika, kita bisa lebih mudah memahami suatu permasalahan, dan menyelesaikannya. Oleh karena itu, memahami fungsi merupakan hal yang sangat diharapkan dalam belajar matematika.

Pertama kali, mari kita pelajari ciri-ciri dari suatu fungsi. Perhatikan aturan membuat sandi sebagai berikut.

Aturan 1:

Aturan 2:

Aturan 3:

Aturan 4:

Perhatikan pula kata-kata berikut.

  1. Selidiki
  2. Siapa
  3. Sebenarnya
  4. Udin

Dengan menggunakan aturan-aturan di atas, setiap kata tersebut akan berubah menjadi sandi. Supaya kalian tidak hanya membayangkan, coba lengkapi tabel berikut (boleh ditulis di kertas kerja terpisah), dan coba amati sandi yang mungkin dihasilkan.

Tabel 3.4 Daftar kata sandi

Perhatikan dengan saksama apakah kata sandi setiap kata bersifat tunggal? Maksudnya: “Apakah setiap kata disandikan hanya dengan satu ‘sandi’ saja?

Kalau kalian mengerjakan dengan sungguh-sungguh, beberapa sandi yang mungkin dihasilkan dapat dilihat pada tabel berikut.

Coba lengkapi tabel di atas.

Masalah 3.4

Aturan yang menghubungkan himpunan {A, B, C, …, Z} ke himpunan

{a, b, c, …, z} merupakan fungsi dari himpunan {A, B, C, …, Z} ke himpunan

{a, b, c, …, z}. Demikian pula dengan aturan yang menghubungkan himpunan{A, B, C, …, Z} ke himpunan {a, b, c, d}; dan aturan yang menghubungkan himpunan {A, B, C, …, Z} ke himpunan {0, 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8, 9}.

Akan tetapi, sebaliknya, aturan yang menghubungkan himpunan{a, b, c, d} ke himpunan {A, B, C, …, Z} adalah bukan fungsi dari himpunan {a, b, c, d} ke himpunan {A, B, C, …, Z}. Aturan yang menghubungkan himpunan {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ke himpunan {A, B, C, …, Z} juga bukan merupakan fungsi.

Sebagai generasi muda yang kritis dan kreatif, tentu kalian harus mempertanyakan. Sebagai contoh, kalian bisa mengajukan pertanyaan:

  1. Agar suatu aturan bisa disebut fungsi dari himpunan A ke himpunan B, apa saja syarat yang harus dipenuhi?
  2. Jika suatu aturan merupakan fungsi dari himpunan A kepada himpunan B, apakah kebalikannya juga merupakan fungsi dari himpunan B ke himpunan A?

Sekarang, coba buat minimal tiga pertanyaan lagi tentang fungsi. Upayakan pertanyaan kalian memuat sedikitnya kata-kata:“semua anggota himpunan A”, “semua anggota himpunan B”, dan/atau “fungsi dari himpunan A ke himpunan B”.

Alternatif Pemecahan Masalah

Ayo Kita Amati

Aturan 1 sampai dengan aturan 4 pada Kegiatan 3.2 adalah relasi. Akan tetapi, aturan-aturan penyandian tersebut bukan hanya sekadar relasi. Aturan itu lebih tepat disebut sebagai fungsi dari himpunan {A, B, C, D, …, Z} ke himpunan {a, b, c, d,…, z}, atau dari himpunan {A, B, C, D,…, Z} ke himpunan {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, atau dari himpunan {A, B, C, D,…, Z} ke himpunan {a, b, c, d}.

Untuk memahami konsep fungsi, perhatikan dengan saksama kasus-kasus berikut.

Misalkan kita mempunyai dua himpunan, yaitu: A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {a, b}. Berikut beberapa relasi yang mungkin terjadi antara anggota- anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B (masih banyak yang tidak dituliskan di sini).

1. {(1, a)}

2. {(1, b)}

3. {(2, a)}

4. {(2, b)}

5. {(3, a)}

6. {(3, b)}

7. {(1, a), (2, b)}

8. {(1, a), (3, b)}

9. {(1, b), (2, a)}

10. {(1, b), (3, a)}

11. {(2, a), (3, b)}

12. {(2, b), (3, a)}

13. {(1, a), (2, a), (3, a)}

14. {(1, a), (2, a), (3, b)}

15. {(1, a), (2, b), (3, a)}

16. {(1, a), (2, b), (3, b)}

17. {(1, b), (2, b), (3, b)}

18. {(1, b), (2, b), (3, a)}

19. {(1, b), (2, a), (3, b)}

20. {(1, b), (2, a), (3, a)}

Dari 20 relasi di atas, yang bisa dikategorikan sebagai fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi nomor 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, dan 20. Jadi, hanya ada sebanyak 8 fungsi. Selebihnya, dari contoh di atas, tidak memenuhi syarat untuk dikatakan sebagai fungsi dari A ke B.

Untuk memahami ciri-ciri dari suatu fungsi, sebaiknya perhatikan uraian berikut. Himpunan pasangan berurutan yang bisa menjadi fungsi dari B = {a, b} ke A = {1, 2, 3} adalah:

{(a, 1), (b, 1)}

{(a, 1), (b, 2)}

{(a, 1), (b, 3)}

{(a, 2), (b, 1)}

{(a, 2), (b, 2)}

{(a, 2), (b, 3)}

{(a, 3), (b, 1)}

{(a, 3), (b, 2)}

{(a, 3), (b, 3)}

Dalam konteks fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka himpunan A disebut Daerah Asal atau Domain dan himpunan B disebut dengan Daerah Kawan atau Kodomain dari fungsi tersebut. Sedangkan himpunan bagian dari himpunan B yang semua anggotanya mendapat pasangan di anggota himpunan A disebut Daerah Hasil atau Range

Contoh 3.1

Kalau himpunan pasangan berurutan {(1, a), (2, a), (3, a)} merupakan fungsi dari {1, 2, 3} ke {a, b}, maka domain dan kodomain dari fungsi ini berturut- turut adalah {1, 2, 3} dan {a, b}.

Contoh 3.2

Kalau himpunan pasangan berurutan {(a, 3), (b, 1)} merupakan fungsi dari

{a, b} ke {1, 2, 3}, maka domain dan kodomain dari fungsi ini berturut-turut adalah {a, b} dan {1, 2, 3}.

Mungkin kalian bertanya, “lho…pada fungsi {(1, a), (2, a), (3, a)}, seperti pada Contoh 3.1, sama sekali tidak disebut huruf b. Mengapa kodomain nya tetap {a, b}? Mengapa tidak {a} saja?”.

Pertanyaan kalian ini penting.

Dalam konteks fungsi {(1, a), (2, a), (3, a)} dari {1, 2, 3} ke {a, b}, himpunan semua anggota kodomain yang menjadi pasangan dari anggota-anggota himpunan domain memiliki istilah tersendiri, yaitu daerah hasil atau Range.

Jika f = {(1, a), (2, b), (3, b)} adalah fungsi dari {1, 2, 3} ke himpunan {a, b}, maka f(1) = a.

Bentuk terakhir ini dibaca dengan “bayangan dari 1 oleh fungsi f adalah a” atau “nilai dari f(1) adalah a”.

Jika kita cari nilai dari setiap anggota domain, diperoleh f(1) = a, f(2) = b, dan

f(3) = b. Jika dikumpulkan semuanya ini, {f(1), f(2), f(3)} = {a,b}.

Himpunan semua nilai fungsi atau himpunan semua bayangan inilah yang disebut dengan daerah hasil atau Range.

Karena itu, pada konteks fungsi {(a, 3), (b, 1)} dari {a, b} ke {1, 2, 3}, domainnya adalah {a, b}, kodomainnya adalah {1, 2, 3}, dan rangenya adalah

{1, 3}

Contoh 3.3

Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 3, 5, 7}. Relasi yang didefinisikan

adalah “satu lebihnya dari”. Apakah relasi dari A ke B termasuk fungsi?

Alternatif Penyelesaian

Untuk mengetahui apakah relasi dari A ke B termasuk fungsi atau bukan, lakukan prosedur berikut.

Diketahui relasi dari A ke B adalah “satu lebihnya dari”, maka relasi ini bisa dituliskan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan: {(3, 2), (4, 3)}.

Coba kita perhatikan beberapa anggota A yang tidak bisa dipasangkan ke B. Beberapa anggota A yang tidak mempunyai pasangan di B adalah 1, 2, dan 5.

Hal ini karena tidak ada bilangan x di B demikian sehingga “1 itu satu lebihnya dari x di B”, “2 itu satu lebihnya dari x di B”, atau “5 itu satu lebihnya dari x di B”. Dengan demikian relasi ini bukan fungsi dari A ke B, karena ada anggota A yang tidak mempunyai pasangan di B.

Contoh 3.4

Misalkan A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}, B = {1, 5, 9}

Relasi yang didefinisikan adalah “anggota A dua kali anggota B”. Apakah relasi dari A ke B termasuk fungsi?

Alternatif Penyelesaian

Untuk mengetahui apakah relasi dari A ke B termasuk fungsi atau bukan, lakukan prosedur berikut.

Diketahui relasi dari A ke B adalah anggota A dua kali anggota B, Maka dapat dituliskan dalam bentuk pasangan berurutan sebagai berikut: {(2, 1), (10, 5)}.

Coba kita perhatikan kembali beberapa anggota A lainnya yang tidak mempunyai pasangan ke B, yakni:

Beberapa anggota A yang tidak mempunyai pasangan di B adalah 4, 6, 8, 12, 14, dan 16.

Hal ini karena tidak ada bilangan x di B demikian sehingga “4 dua kali anggota B”, “6 dua kali anggota B”, “8 dua kali anggota B”, “12 dua kali anggota B”, “14 dua kali anggota B”, dan “16 dua kali anggota B”.

Dengan demikian relasi ini juga bukan fungsi dari A ke B, karena ada beberapa anggota A yang tidak mempunyai pasangan di B.

Ayo Kita Menalar

Perhatikan contoh dan bukan contoh fungsi dan relasi dari himpunan

A = {1, 2, 3} ke himpunan B = {a, b} berikut.

Tabel 3.5 Contoh fungsi dan bukan fungsi

Coba kita pusatkan perhatian kita kepada dua hal berikut.

  1. Apakah setiap anggota A dipasangkan dengan anggota di B?,
  2. Berapa anggota B yang dihubungkan dengan satu anggota A?

3.3 Memahami Bentuk Penyajian Fungsi

Untuk menyajikan suatu fungsi caranya sama seperti menyajikan suatu relasi, karena fungsi merupakan bentuk khusus dari suatu relasi.

Ada 5 cara dalam meyajikan suatu fungsi :

  1. Himpunan Pasangan Berurutan
  2. Diagram Panah
  3. Dengan Persamaan Fungsi
  4. Dengan Tabel
  5. Dengan Grafik

CONTOH :

Misalkan f adalah fungsi dari himpunan ke himpunan yang didefinisikan dengan pasangan berurut . Fungsi ini dapat dinyatakan dalam 5 cara, yaitu :

  1. Himpunan pasangan berurutan
  1. Diagram panah
  1. Dengan persamaan fungsi

Dari himpunan pasangan berurutan didapat :

Jika anggota A kita sebut dan anggota B kita sebut , maka

Dari kita dapatkan

Bentuk ini biasa ditulis dengan ,untuk setiap inilah yang dinyatakan sebagai persamaan fungsi

  1. Dengan tabel

Dari himpunan pasangan berurutan jika dinyatakan dalam tabel, sebagai berikut :

  1. Dengan grafik

Dari himpunan pasangan berurutan jika dinyatakan dalam grafik sebagai berikut :

Latihan Soal :

Misalkan adalah fungsi dari himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan real R dengan persamaan

Nyatakan fungsi di atas dengan cara :

  1. Pasangan berurutan
  2. Diagram panah
  3. Tabel
  4. Grafik

3.4 Memahami Korespondensi Satu Satu

Korespondensi satu-satu adalah relasi atau fungsi yang memetakan atau memasangkan setiap anggota dari himpunan A pada tepat satu anggota B dan setiap anggota himpuan B pada tepat satu anggota A.

Banyak anggota himpunan A dan B harus sama atau n (A) = n (B).

Contoh :

  1. Perhatikan diagram panah berikut :
D:\SMP N 2 Bojongsari\LPMP\diagram korespondensi.jpg

Dari diagram panah tersebut, yang merupakan korespondensi satu satu adalah diagram 1, 3, 4, dan 5. Alasannya adalah setiap anggota himpunannya masing-masing memiliki tepat 1 pasangan.

  1. Perhatikan himpunan pasangan berurutan berikut :

Dari himpunan pasangan berurutan tersebut yang merupakan korespondensi satu – satu adalah himpunan pasangan berutuan (iii), (iv), dan (vi). Alasannya adalah :

(iii) anggota himpunan nya tidak ada yang berulang pada himpunan yang sama. Himpunan pertama beranggotakan {5,6,7}, dan anggota himpunan yang kedua beranggotakan {6,7,5}

(iv) anggota himpunan nya tidak ada yang berulang pada himpunan yang sama. Himpunan pertama beranggotakan {1,2,3}, dan anggota himpunan yang kedua beranggotakan {1,2,3}

  1. anggota himpunan nya tidak ada yang berulang pada himpunan yang sama. Himpunan pertama beranggotakan {a,b,2}, dan anggota himpunan yang kedua beranggotakan {a,b,2}

Untuk menghitung jumlah atau banyaknya korespondensi yang dapat dibentuk dari dua himpunan yang memiliki jumlah anggota yang sama misalkan n anggota dapat menggunakan rumus

n x (n-1) x (n-2) x …..x 3 x 2 x 1 atau sering dinotasikan dengan n! (dibaca n faktorial)

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut!

Contoh :

Diketahui A = {himpunan huruf pembentuk kata CERIA} dan B = {himpunan huruf vokal}. Berapakah banyak korespondensi satu-satu yang dapat dibentuk dari himpunan A dan himpunan B?

Jawab:

A = {C, E, R, I, A}

n(A) = 5

B = {a, i, u, e, o}

n(B) = 5

Banyak korespondensi satu-satu = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Jadi, banyak korespondensi satu-satu yang dapat dibentuk oleh himpunan A dan himpunan B adalah 120 buah

Kalian juga bisa simak melalui tautan berikut :

https://www.madematika.net/2017/10/mengenal-korespondensi-satu-satu-dan.html

Kemudian lengkapilah tabel berikut.

Tabel 3.6 Pernyataan fungsi dan bukan fungsi

Tuliskan simpulan kalian pada lembar pengamatan kalian.

Sekarang coba kalian terapkan simpulan tersebut untuk memeriksa apakah himpunan pasangan berurutan berikut merupakan fungsi dari himpunan B = {a, b} ke himpunan A = {p, q, r, s} atau tidak?

1. {(a, p), (b, p)}

2. {(a, p), (b, q)}

3. {(a, p), (b, r)}

4. {(a, q), (b, s)}

5. {(a, q), (a, r)}

6. {(a, r), (b, r)}

7. {(b, s), (b, r), (a, p)}

8. {(a, p), (b, q), (a, r)}

Ayo Kita Berbagi

Tulislah simpulan kalian tentang ciri-ciri dari fungsi A ke B, dan hasil pemeriksaan kalian terhadap 8 soal di atas.

Pertukarkan tulisan tersebut dengan teman sebangku. Secara santun, silakan saling berkomentar, menanggapi komentar, memberikan usul dan menyepakati ide-ide yang paling tepat.

Sedikit Informasi

Coba kalian ingat kembali pelajaran materi himpunan di kelas 7, kemudian perhatikan uraian berikut.

Relasi adalah aturan yang menghubungkan anggota-anggota dua himpunan. Akan tetapi, seperti diuraikan di atas, relasi dari himpunan A ke himpunan B tidak selalu berupa fungsi. Relasi tidak memaksakan semua anggota Domain dipasangkan. Relasi juga tidak memaksakan bahwa banyak pasangan dari setiap unsurnya harus tunggal. Relasi merupakan konsep yang lebih longgar dibandingkan fungsi. Karena itu, setiap fungsi adalah relasi, tetap tidak setiap relasi merupakan fungsi.

Berikut disajikan beberapa contoh fungsi yang mungkin bermanfaat bagi kalian.

Contoh 3.5

Pada peringatan Hari Kemerdekaan 17 Agustus misalnya, sering orang membuat pola potongan kertas yang disusun selang seling merah, putih, merah, putih, dan seterusnya. Orang menulisnya dengan merah, putih, merah, putih, merah, putih, …

Pola yang terjadi ini juga sebenarnya merupakan fungsi dari himpunan bilangan asli ke himpunan potongan kertas warna merah dan warna putih. Secara formal, barisan ini nantinya ditulis sebagai {(1, merah), (2, putih), (3, merah), (4, putih), (5, merah), …}.

Contoh 3.6

Pada waktu belajar tentang barisan bilangan, kita juga banyak belajar tentang fungsi dengan domain himpunan semua bilangan asli. Barisan bilangan kuadrat bisa ditulis dalam bentuk himpunan pasangan berurut {(1,1), (2,4), (3, 9), (4, 16), …}.

Contoh 3.7

Ketika belajar tentang hubungan antara harga barang dan banyaknya barang yang laku dijual, terutama kalau dinyatakan dalam bentuk persamaan linear y = mx + n, sebenarnya kita juga belajar fungsi.

Contoh 3.8

Dalam rangka menarik pelanggan untuk berinvestasi di perusahaan X, manager perusahaan itu menyampaikan rumus laba yang bisa diperoleh dari penjualan barangnya dengan rumus sebagai berikut: misalnya l = 25.000b – 5.000, dengan b menyatakan banyaknya barang yang laku, dan l besar laba yang diperoleh. Rumus ini menyatakan fungsi dari banyaknya barang yang laku (b) dengan besar laba yang diperoleh (l).

Ayo Kita Berlatih 3,2

Kerjakanlah soal-soal berikut.

  1. Perhatikan aturan sandi di bawah ini.

Tulislah arti pesan sandi berikut.

a. gkqfuzxqax qrqsqi uxkxax atzoaq ro kxdqi

b. uxkxax qrqsqi gkqfuzxqax ro ltagsqi

Sandikan pesan berikut.

c. SAYA ANAK INDONESIA

d. MATEMATIKA ADALAH KEHIDUPANKU

2. Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 6} dan Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12}.

a. Jika dari P ke Q dihubungkan relasi “setengah dari”, tentukan himpunan anggota P yang mempunyai pasangan di Q.

b. Jika dari Q ke P dihubungkan relasi “kuadrat dari”, tentukan himpunan anggota Q yang mempunyai pasangan di P.