Sistem Persamaan Lienear Dua Variabel
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
- Memahami Konsep Sistem Persamaan Linear Dua variabel
- Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)
Sebelum mempelajari sistem persamaan linear dua variabel, terlebih dahulu kita perlu memahami apa itu persamaan linear dua variabel. Persamaan linear dua variabel (PLDV) adalah suatu persamaan yang tepat mempunyai dua variabel dan masing-masing variabelnya berpangkat satu.
Berikut beberapa contoh persamaan linear dua variabel.
Penyelesaian dari persamaan linear dua variabel dapat ditentukan dengan menyubstitusikan (mengganti) suatu nilai ke sebuah variabel, kemudian akan diperoleh nilai variabel yang lainnya. Untuk sebuah persamaan linear dua variabel, terdapat lebih dari satu penyelesaian.
- Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah dua buah PLDV yang saling terkait, dan kedua PLDV tersebut memiliki penyelesaian atau akar yang sama.
Selanjutnya, sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dapat disajikan dalam berbagai bentuk dengan berbagai variabel, misalnya:
Perbedaan antara persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear dua variabel yaitu sebuah persamaan linear dua variabel (PLDV) mempunyai penyelesaian yang tak berhingga banyaknya. Sementara itu, sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) pada umumnya hanya mempunyai satu pasangan nilai sebagai penyelesaiannya. PLDV adalah sebuah persamaan yang mandiri, artinya penyelesaian PLDV itu tidak terkait dengan PLDV yang lain, sedangakan SPLDV terdiri dari dua PLDV yang saling terkait, dalam arti penyelesaian SPLDV harus sekaligus memenuhi kedua PLDV pembentuknya.
- Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Menggambar Grafik
Penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berupa pasangan berurutan yang merupakan salah satu penyelesaian untuk setiap persamaan. Penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel adalah titik potong grafik dari kedua persamaan.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan menggambar grafik, langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut.
- Gambar grafik kedua persamaan dalam satu bidang koordinat.
- Perkirakan titik perpotongan kedua grafik.
- Periksa titik potong kedua grafik dengan menyubstitusikan nilai x dan y ke dalam setiap persamaan.
Contoh:
- Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan
Penyelesaian:
- Gambar grafik kedua persamaan.
- Perhatikan persamaan
Menentukan koordinat dua titik yang terletak pada grafik tersebut. Supaya lebih mudah, untuk persamaan di atas kita menentukan titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y.
- Perhatikan persamaan
- Grafik dari kedua persamaan tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.
- Perkirakan titik potong kedua grafik.
Titik potong kedua grafik adalah (6, -2).
- Periksa titik potong.
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah
- Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan menggunakan grafik.
Penyelesaian:
- Gambar grafik kedua persamaan.
- Perhatikan persamaan
- Perhatikan persamaan
- Grafik dari kedua persamaan tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.
- Perkirakan titik potong kedua grafik.
Garis sejajar, sehingga tidak mempunyai titik potong.
Jadi, sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian.
CARA MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
Terdapat 4 metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPLDV, yaitu:
1. Metode grafik
Pada metode grafik, kita akan menggambar grafik dari dua buah persamaan yang telah kita buat pada langkah sebelumnya. Cara yang paling mudah untuk menggambar grafik adalah dengan mencari titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y. Berdasarkan contoh di atas, kita dapat menentukan titik potong dari masing-masing persamaan sebagai berikut:
Sehingga, diperoleh titik potong dari kedua garis yaitu (x,y) = (100,170). Sebelumnya, kita telah memisalkan panjang tali dengan variabel x dan tinggi Kumamon dengan variabel y. Jadi, sudah dapat ditentukan nih berapa panjang tali dan juga tinggi si Kumamon itu. Yap! Jawabannya adalah 100 cm untuk panjang tali dan 170 cm untuk tinggi Kumamon.
Bagaimana, mudah, kan? Metode grafik ini biasanya berguna jika nilai koefisien dan nilai konstanta dari persamaannya bukan merupakan bilangan bulat, sehingga lebih baik digambar untuk memudahkan mencari nilai x dan y nya.
2. Metode eliminasi
Metode yang kedua adalah metode eliminasi. Metode ini bertujuan untuk mengeliminasi salah satu variabel untuk mengetahui nilai variabel lainnya. Caranya dapat kamu lihat pada contoh di bawah ini.
Berdasarkan metode eliminasi, diperoleh nilai x = 100 dan y = 170. Jadi, dapat diketahui kalau panjang tali adalah 100 cm dan tinggi badan Kumamon adalah 170 cm. Sampai sini, menurut kamu, lebih mudah pakai metode yang mana, nih? Hehe…
3. Metode substitusi
Metode substitusi bertujuan untuk mengganti nilai suatu variabel di suatu persamaan dari persamaan lainnya. Hah?! Gimana, gimana? Tenang, kalau bingung, caranya dapat kamu lihat ada contoh berikut ini:
Berdasarkan metode substitusi, diperoleh nilai x = 100 dan y = 170. Jadi, dapat diketahui kalau tinggi badan Kumamon adalah sebesar 170 cm dan tali yang dipakai Kumamon untuk bermain lompat tali adalah 100 cm.
4. Metode gabungan
Metode ini merupakan gabungan dari metode eliminasi dan substitusi. Caranya, kamu dapat menggunakan metode eliminasi untuk mencari nilai x terlebih dahulu, kemudian ganti variabel x dengan nilai x yang sudah diperoleh dengan menggunakan metode substitusi untuk memperoleh nilai y. Paham, nggak? Yuk, kita simak baik-baik caranya pada contoh di bawah ini!
Berdasarkan metode gabungan, diperoleh nilai x = 100 dan y = 170. Sehingga, dapat diketahui kalau panjang tali adalah sebesar 100 cm dan tinggi Kumamon adalah 170 cm. Perlu kamu ketahui kalau metode gabungan ini merupakan metode yang paling banyak dipakai untuk menyelesaikan masalah SPLDV.
Nah, kalau kamu perhatikan, dari keempat metode penyelesaian SPLDV di atas, akan diperoleh hasil yang sama. Jadi, bebas sebenarnya mau pakai metode yang mana saja. Meskipun begitu, kamu harus tetap menguasai keempat-empatnya, ya.
Selanjutnya, kita akan mencari tahu berapa panjang tali yang diperlukan agar Kumamon dapat bermain lompat tali tanpa harus tersangkut di tubuh gemoynya. Jika kamu membaca kembali contoh soal di atas, maka dapat diketahui kalau setidaknya, tali tersebut harus dua kali lebih panjang dari ukuran sebelumnya (2x). Jadi, sudah dapat kita ketahui ya, kalau panjang tali yang diperlukan agar tidak tersangkut di tubuh gemoy Kumamon adalah 2x = 2(100) = 200 cm.
Oke, apa tanggapanmu setelah mempelajari keempat metode penyelesaian SPLDV di atas? Easy bukan? Meskipun kelihatannya panjang dan rumit, tapi jika kamu memperbanyak latihan soal, pasti akan mudah, kok.
Oh iya, bagi kamu yang masih bingung dengan materi ini, jangan ragu untuk tuliskan pertanyaanmu lewat Class room atau lewat WA ke bu guru ya ?
LATIHAN SOAL
1. Perhatikan persamaan-persamaan berikut !
(i) 3p + 5q = 10
(II) 2×2 – 3y = 6
(III) 3y = 5x – 2
(IV) 3x + 5 = 2x – 3y
Yang bukan merupakan persamaan linear dua variabel adalah ….
a. (i)
b. (II)
c. (III)
d. (IV)
Pembahasan:
(i) 3p + 5q = 10 : merupakan PLDV karena terdapat variabel p dan q
(II) 2×2 – 3y = 6 : bukan PLDV karena 2×2 merupakan bagian dari persamaan kuadrat bukan persamaan linear
(III) 3y = 5x – 2 : merupakan PLDV karena terdapat variabel x dan y
(IV) 3x + 5 = 2x – 3y : merupakan PLDV karena terdapat variabel x dan y
Jawaban: b
2. Perhatikan persamaan-persamaan berikut !
(i) 15 – 5x = 23
(II) 5x = 20 – 3y
(III) x2 – y2 = 49
(IV) 3×2 + 6x + 12 = 0
Yang merupakan persamaan linear dua variabel adalah ….
a. (I)
b. (II)
c. (III)
d. (IV)
Pembahasan:
(i) 15 – 5x = 23 : bukan PLDV karena hanya terdapat satu variabel
(II) 5x = 20 – 3y : merupakan PLDV kkarena terdapat variabel x dan y
(III) x2 – y2 = 49 : bukan PLDV karena x2 dan y2 merupakan bagian dari persamaan kuadrat bukan persamaan linear
(IV) 3×2 + 6x + 12 = 0 : bukan PLDV karena terdapat 3×2 merupakan bagian dari persamaan kuadrat bukan persamaan linear
Jawaban: b
3. Rina membeli 3 kg apel dan 2 kg jeruk. Uang yag harus dibayarkan adalah Rp 65.000,00.
Jika diubah menjadi persamaan linear dua variabel, maka pernyataan tersebut menjadi ….
a. 3x + 2y = 65.000
b. 3x – 2y = 65.000
c. 3x + 2y = 65
d. 3x – 2y = 65
Pembahasan:
Misal x = apel
Y = jeruk
Harga 3 kg apel dan 2 kg jeruk = 65.000
Jika dijadikan persamaan linear dua variabel adalah 3x +2y = 65.000
Jawaban: a
4. Seorang pedagang menjual 3 buah pensil dan 5 buah buku seharga Rp 19.500,00.
Jika diubah menjadi persamaan linear dua variabel, maka pernyataan tersebut menjadi ….
a. 3x – 5y = 19.5
b. 3x + 5y = 19.500
c. 3x – 5y = 19.5
d. 3x + 5y = 19.500
Pembahasan :
Misal x = pensil
Y = buku
Harga 3 buah pensil dan 5 buah buku adalah 19.500
Jika dijadikan persamaan linear dua variabel adalah 3x + 5y = 19.500
Jawaban : d
5. Keliling sebuah persegi panjang adalah 64 cm.
Jika diubah menjadi persamaan linear dua variabel, maka pernyataan tersebut menjadi ….
a. 2p – 2l = 64
b. p x l = 64
c. 2p + 2l = 64
d. p + l = 64
Pembahasan :
Rumus keliling persegi panjang = (2 x panjang) + (2 x lebar)
Missal p = panjang
l = lebar
Bentuk persamaan linear akan menjadi : 2p + 2l =64
Jawaban : c
6. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 12, x – y = 4 adalah ….
a. { 4 , 8 }
b. { 12 , 4 }
c. { 4 , 12 }
d. { 8 , 4 }
7. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – y = 6, x + y = 10 adalah ….
a. {8 , 2}
b. {2 , 8}
c. {6 , 10}
d. {10 , 6}
8. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 1, 4x – 3y = 9 adalah ….
a. {1, 3 }
b. {2, 5 }
c. {3, 1 }
d. {4, 3 }
9. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – y = 4, -2x – 3y = -4 adalah ….
a. {4 , -4}
b. {2 , 0}
c. {2 , 3}
d. {2 , -2}
10. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 4x = 5y, 3y = 7 – 5x adalah ….
a. {-35/13 , -28/13}
b. {28/13, 35/13}
c. {-28/13, -35/13}
d. {35/13 , 28/13}
DAFTAR PUSTAKA
Adinawan, M. Cholik dan Sugijono. 2013. Matematika SMP Jilid 2B Kelas VIII Semester 2. Jakarta: Erlangga
As’ari, Abdur Rahman, et. al. 2017. Buku Siswa Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII Semester 1 Edisi Revisi. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.